Courte et longue mémoire

Comportement d'estimateurs robustes connus en longue mémoire pour de grands échantillons

C. Lévy-Leduc, H. Boistard, E. Moulines, M. S. Taqqu et V. A. Reisen.

Article publié dans Statistics, vol. 45, n. 1, p. 59–71, 2011.
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Cet article est consacré aux estimateurs robustes de localisation et échelle en longue mémoire, en particulier l'estimateur de localisation de Hodges-Lehman, l'estimateur d'échelle de Shamos-Bickel et l'estimateur d'échelle de Rousseeuw-Croux. Les propriétés de ces estimateurs pour des échantillons de grande taille sont revues en détail. L'article inclut des simulations pour examiner le comportement des estimateurs pour des tailles d'échantillon finies.

Estimation robuste de l'échelle et de la fonction d'autocovariance de processus gaussiens en courte et longue mémoire

C. Lévy-Leduc, H. Boistard, E. Moulines, M. S. Taqqu et V. A. Reisen.

Article paru dans Journal of Time Series Analysis, vol. 32, n. 2, p. 135-156, 2011. Télécharger une version de l'article.

Une propriété intéressante d'un estimateur d'autocovariance est la robustesse à la présence de données atypiques additives. Il est connu que l'autocovariance empirique, basée sur des moments, ne possède pas cette propriété. Il est donc très utile de disposer d'un estimateur d'autocovariance robuste pour la modélisation des séries temporelles. Dans cet article, les propriétés asymptotiques des estimateurs d'échelle et d'autocovariance robustes proposés par Rousseeuw et Croux (1993) et Ma et Genton (2000) sont établies pour les processus gaussiens, en courte et longue mémoire. Nous montrons que dans le cadre de la courte mémoire, l'estimateur robuste est asymptotiquement normal avec la vitesse \sqrt{n}, où n est le nombre d'observations. Une expression explicite de la variance asymptotique est donnée et comparée avec la variance asymptotique de l'estimateur d'autocovariance classique. Dans le cadre de la longue mémoire, la distribution limite a le même comportement que celle de l'estimateur d'autocovariance classique, avec une limite gaussienne à la vitesse \sqrt{n} quand le paramètre de Hurst H est inférieur ou égal à 3/4 et avec une limite non gaussienne, appartenant au deuxième chaos de Wiener, à une vitesse qui dépend du paramètre de Hurst, quand H\in (3/4, 1). Des simulations par la méthode de Monte Carlo sont présentées pour illustrer nos propositions et les données du Nil sont analysées à titre d'application. Les résultats théoriques et empiriques suggèrent fortement d'utiliser les estimateurs robustes comme une alternative pour estimer la structure de dépendance des processus gaussiens.

Propriétés asymptotiques de U-processus en longue mémoire

C. Lévy-Leduc, H. Boistard, E. Moulines, M. S. Taqqu and V. A. Reisen.

Article paru dans Annals of Statistics, vol. 39, n. 3, p. 1399-1426, 2011. Télécharger une version.

Soit (X_i)_{i\geq1} un processus gaussien centré de covariance \rho(k) = E(X_1X_{k+1}) qui satisfait :
\rho(0=1 et \rho(k)=k^{-D}L(k) où D appartient à (0,1) et L est une fonction à variations lentes à l'infini. Considérons le U-processus \{U_n(r), r \in I\} défini par
U_n(r)=\frac{1}{n(n-1)}\sum_{1\leq i\neq j \leq n}\mathbb{1}_{\{G(X_i,X_j\leq r\}},
où I est un intervalle de \mathbb{R} et G est une fonction symétrique. Dans cet article, nous donnons des théorèmes de la limite centrale de la limite non centrale pour U_n. Ils sont utilisés pour déduire dans le cadre de la longue mémoire, de nouvelles propriétés de nombreux estimateurs connus comme l'estimateur de localisation robuste de Hodges-Lehmann, la statistique de rang de Wilcoxon, l'intégrale de corrélation empirique et un estimateur d'échelle associé. On observe que ces estimateurs robustes ont la même distribution asymptotique que les estimateurs de localisation et d'échelle classiques. Les distributions limites sont exprimées en termes d'intégrales de Wiener-Itô multiples.