Estimation robuste de l'échelle et de la fonction d'autocovariance de processus gaussiens en courte et longue mémoire

C. Lévy-Leduc, H. Boistard, E. Moulines, M. S. Taqqu et V. A. Reisen.

Article paru dans Journal of Time Series Analysis, vol. 32, n. 2, p. 135-156, 2011. Télécharger une version de l'article.

Une propriété intéressante d'un estimateur d'autocovariance est la robustesse à la présence de données atypiques additives. Il est connu que l'autocovariance empirique, basée sur des moments, ne possède pas cette propriété. Il est donc très utile de disposer d'un estimateur d'autocovariance robuste pour la modélisation des séries temporelles. Dans cet article, les propriétés asymptotiques des estimateurs d'échelle et d'autocovariance robustes proposés par Rousseeuw et Croux (1993) et Ma et Genton (2000) sont établies pour les processus gaussiens, en courte et longue mémoire. Nous montrons que dans le cadre de la courte mémoire, l'estimateur robuste est asymptotiquement normal avec la vitesse \sqrt{n}, où n est le nombre d'observations. Une expression explicite de la variance asymptotique est donnée et comparée avec la variance asymptotique de l'estimateur d'autocovariance classique. Dans le cadre de la longue mémoire, la distribution limite a le même comportement que celle de l'estimateur d'autocovariance classique, avec une limite gaussienne à la vitesse \sqrt{n} quand le paramètre de Hurst H est inférieur ou égal à 3/4 et avec une limite non gaussienne, appartenant au deuxième chaos de Wiener, à une vitesse qui dépend du paramètre de Hurst, quand H\in (3/4, 1). Des simulations par la méthode de Monte Carlo sont présentées pour illustrer nos propositions et les données du Nil sont analysées à titre d'application. Les résultats théoriques et empiriques suggèrent fortement d'utiliser les estimateurs robustes comme une alternative pour estimer la structure de dépendance des processus gaussiens.