Théorème de la limite centrale pour des intégrales multiples par rapport au processus empirique

Travail en collaboration avec Eustasio del Barrio.

Article paru dans Statistics and Probability Letters, vol. 79(2), p. 188-195, 2009. Télécharger une version de l'article.

Dans cet article, nous donnons des résultats de convergence faible d’intégrales multiples par rapport au processus empirique. Nous considérons des objets du type
J_{n,m}(h)=\int'h(x_1, \dots, x_m)d\mathbb{G}_n(x_1)\dots \mathbb{G}_n(x_m),
où h est une fonction réelle symétrique de carré intégrable de m variables, l'échantillon X_1, \dots, X_n est supposé i.i.d. de loi P, \mathbb{P}_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\delta_{X_i} et \mathbb{G}_n=\sqrt{n}(\mathbb{P}_n-P) sont respectivement la mesure empirique et le processus empirique. \int' est l’intégrale en dehors de la diagonale. Nous incluons le cas de noyaux non dégénérés par rapport à la distribution sous-jacente. Nos résultats sont reliés à des résultats antérieurs sur les U-statistiques. Nous introduisons une intégrale stochastique par rapport au pont brownien qui nous permet d’exprimer la limite de manière unifiée dans les cas dégénéré et non dégénéré. L’utilisation de l’intégrale multiple par rapport au processus empirique présente un avantage par rapport aux U-statistiques : le Théorème de la Limite Centrale que nous obtenons est plus simple. Il ne met pas en jeu la dégénération du noyau et la limite est exprimée de façon précise.