Teorema límite central para integrales múltiples con respecto al proceso empírico

Trabajo conjunto con Eustasio del Barrio. Artículo publicado en Statistics and Probability Letters, vol. 79(2), p. 188-195, enero de 2009. Descargar una version en pdf.

En este artículo, damos resultados de convergencia débil de integrales múltiples con respecto al proceso empírico. Consideramos objetos de tipo
$J_{n,m}(h)=\int'h(x_1, \dots, x_m)d\mathbb{G}_n(x_1)\dots \mathbb{G}_n(x_m),$
donde $h$ es una función real simétrica, de cuadrado integrable, de m variables. $X_1, \dots, X_n$ es una muestra i.i.d. de distribución $P$ y $\mathbb{P}_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\delta_{X_i}$ y $\mathbb{G}_n=\sqrt{n}(\mathbb{P}_n-P)$ son respectivamente la medida empírica asociada y el proceso empírico. $\int'$ es la integral fuera de la diagonal. Incluimos el caso de los núcleos no degenerados con respecto a la distribución subyacente. Nuestros resultados están relacionados con resultados anteriores sobre U-estadísticos. Introducimos una integral estocástica con respecto al puente Browniano que permite expresar el límite de manera unificada independientemente de la degeneración del núcleo. El uso de la integral múltiple con respecto al proceso empírico tiene una gran ventaja con respecto al uso de U-estadísticos: el Teorema Central del Límite obtenido es más simple. No pide la degeneración del núcleo y el límite se expresa de una manera precisa.